مجموعه های هذلولوی از اندازه مثبت

ینامیک هموار مطالعه ی شارها و یا نگاشت های مشتق پذیر می باشد. در میان سیستم های دینامیکی هموار دینامیک های هذلولوی به وسیله نمایش راستاهای انقباضی و انبساطی مشخص می شود‎.‎ از دهه ‎60‎ مجموعه های هذلولوی نقش مهمی را در گسترش سیستم های دینامیکی ایفا کرده است. مجموعه های هذلولوی, مجموعه هایی پایا تحت دینامیک و نیز فشرده هستند که فضای مماسی بر روی آنها به دو زیرفضای پایا که یکی از آنها انقباضی و دیگری انبساطی است تجزیه می گردد‎.‎ در این پایان نامه سیستم های دینامیکی گسسته را مدنظر قرار می دهیم با این حال روش های ما در حالت های پیوسته نیز به کار خواهد آمد. در دهه های اخیر توجه بسیار زیادی به سیستم های ارگودیک شده است. موضوع ارگودیک بودن در مورد یک نگاشت, وابستگی کاملی به شناسایی زیرمجموعه های اندازه پذیر برل با اندازه مثبت دارد. در این پایان نامه سعی می کنیم با درنظر گرفتن یک دیفیومورفیسم ‎$ c^{1+alpha}$‎ زیرمجموعه های بسته و در حالت کلی برل فضا را که از اندازه مثبت هستند مورد بررسی قرار دهیم. در حقیقت با شناسایی چنین مجموعه هایی می توان روش های دیگری را برای ارگودیک بودن نگاشت های آناسوف حجم نگهدار ارائه کرد. ‎‎ روش کلی در اینجا اثبات این مطلب است که هرگاه ‎$ lambda$‎ مجموعه ای پایا از ‎$ c^{1+alpha}$‎ دیفیومورفیسم ‎$ f$‎ و از اندازه مثبت باشد در این صورت زیرمنیفلدهای پایدار و ناپایدار آن تقریباً همه جا زیرمجموعه ای از خود ‎$ lambda$‎ خواهند بود. در حالت کلی می توان نشان داد که هرگاه نگاشت ‎$ c^{1+alpha}$‎ دارای یک راستای هذلولوی ‎$ e$‎ باشد آنگاه برای هر زیرمجموعه ی پایا ‎$ lambda$‎ از ‎$ f$‎ و تقریباً همه ی ‎$ xinlambda$‎ ‏داریم ‎$ mathcal{f}(x)subseteqlambda$ر این پایان نامه نتایجی را راجع به دیفیومورفیسم های آناسوف حجم نگهدار روی منیفلدهای فشرده مورد بررسی قرار می دهیم. قضیه اصلی این پایان نامه بیان می کند که اگر یک ‎$c^{1+alpha}$‎ دیفیومورفیسم حجم نگهدار روی یک منیفلد فشرده همبند دارای زیرمجموعه پایا از اندازه مثبت باشد در این صورت نگاشت ‎$f$‎ آناسوف است. این نتیجه لزوماً درباره نگاشت های ‎$ c^1$‎ برقرار نمی باشد. اثبات از مفهوم نقاط چگالش که به صورت دینامیکی توسط پیو‎ltrfootnote{pugh}‎ و شوب‎ltrfootnote{shub}‎ تعریف شده اند استفاده می کند که اساساً از مفهوم نقاط چگالش لبگ که به صورت معمول معرفی می شوند متفاوت است. سپس اثباتی مستقیم برای ارگودیک بودن دیفیومورفیسم های آناسوف حجم نگهدار ‎$ c^{1+alpha}$‎ بدون استفاده از بحث های هاف‎ltrfootnote{hopf}‎ یا قضیه ارگودیک بیرخوف ارائه می دهیم.